שיעור 18: חקירת פולינום 1

מציאת נקודות קיצון וחקירת פולינום

1📝 השאלה

2🔷 הסעיפים

📄 נוסח השאלה

שאלה: חקור את הפונקציה f(x) = x² − 4x + 4 על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה.

ב. נקודות חיתוך עם הצירים.

ג. נקודות קיצון.

ד. תחומי עלייה וירידה.

ה. סרטוט.

🔷 הסעיפים

סעיף א: תחום הגדרה.

זו פונקציה פולינום (בלי שבר ובלי שורש), ולכן אפשר להציב בה כל מספר.

✅ כל x

🔷 הסעיפים

סעיף ב: נקודות חיתוך עם הצירים.

עם ציר y מציבים x = 0:

f(0) = 0² − 4·0 + 4 = 4 ← (0 , 4)

עם ציר x מציבים y = 0:

x² − 4x + 4 = 0

x₁,₂ = 4 ± √(16 − 16)2 = 42

x = 2 ← (2 , 0)

✅ (0 , 4) , (2 , 0)

🔷 הסעיפים

סעיף ג: נקודות קיצון.

גוזרים ומשווים ל־0:

f'(x) = 2x − 4 = 0

2x = 4

x = 2

מציבים בפונקציה:

f(2) = 2² − 4·2 + 4

= 4 − 8 + 4 = 0

מציבים בנגזרת מספר לפני 2 ומספר אחרי:

f'(0) = 2·0 − 4 = −4 < 0

f'(3) = 2·3 − 4 = 2 > 0

🔷 הסעיפים · המשך

f'(3) = 2·3 − 4 = 2 > 0

x	0	2	3
f'(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

✅ (2 , 0) נקודת מינימום

🔷 הסעיפים

סעיף ד: תחומי עלייה וירידה.

לפי הטבלה מסעיף ג: לפני 2 הנגזרת שלילית, ואחרי 2 היא חיובית.

✅ עלייה: x > 2
ירידה: x < 2

🔷 הסעיפים

סעיף ה: סרטוט.

מסמנים את הנקודות שמצאנו: חיתוך עם ציר y ב־(0 , 4) , ומינימום שנוגע בציר x ב־(2 , 0). יורדים עד המינימום ואז עולים:

📌 לזכור

💡 בחקירת פונקציה עובדים תמיד באותו סדר: תחום הגדרה ← חיתוך עם הצירים ← קיצון ← עלייה וירידה ← סרטוט. כל סעיף משתמש במה שמצאנו בסעיפים הקודמים, והסרטוט "מחבר" את כל הנקודות.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא